Translator

Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

A. Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah
math
dengan
math
Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari math, koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.

Arti nilai a, b, dan c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.
  • a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.
  • b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepatnya adalah -b/2a.
  • c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x = 0.
Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan berbagai variasi nilai a. b dan c dapat dilihat pada gambar di di atas.

Rumus kuadrat aka rumus abc

Berkas:Kuadrat-akar.png
y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)

Rumus kuadrat dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk
math
Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa
math.
Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk
math
dapat dituliskan menjadi
math.
Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu
math
dan
math.
Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.


Diskriminan/determinan

Berkas:Diskriminan.png
Akar-akar dan nilai D.

Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:
math
yang disebut sebagai diskriminan atau juga sering disebut determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dituliskan sebagai D.
Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki hanya sebuah akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini dikriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:
  • Jika diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:
math
  • Jika diskriminan bernilai negatif, tidak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan konjugat kompleks:
math dan math
Jadi akar-akar akan berbeda, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak negatif.

Akar riil dan kompleks

Persamaan kuadrat dapat memiliki sebuah akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.

Titik potong dengan garis y = d

Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat digunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat (math) dengan suatu garis mendatar (math). Hal ini dapat dilakukan dengan mengurangi persamaan kuadrat tersebut dengan persamaan garis yang titik potong antar keduanya ingin dicari dan menyamakannya dengan nol.
math
Intepretasi yang sama pun berlaku, yaitu bila:
  • diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara math dan math,
  • diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara math dan math, dan
  • diskriminan negatif, tidak terdapat titik potong antara kedua kurva, math dan math.

Nilai-nilai y

Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai y berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan pula oleh nilai konstanta kuadrat a:
Harga-harga y

math math
math math math math math math
math math math math math math math
math math math math math math math
math math math math math math math
dengan math merupakan akar-akar persamaan kuadrat. Dalam tabel di atas, apabila mathbersifat kompleks, maka yang dimaksud adalah math (nilai riil)-nya.

Geometry

Berkas:Polynomialdeg2.png
Untuk fungsi kuadrat:
f(x) = x2x − 2 = (x + 1)(x − 2), dengan variabel x adalah bilangan riil. koordinat-x dari titik-titik di mana kurva menyentuh sumbu-x, x = −1 dan x = 2, adalah akar-akar dari persamaan kuadrat : x2x − 2 = 0.

Akar-akar dari persamaan kuadrat
math
adalah juga pembuat nol dari fungsi kuadrat tersebut:
math
dikarenakan akar-akar tersebut merupakan nilai math yang memberikan
math
Jika a, b, dan c adalah bilangan riil, dan domain dari math adalah himpunan bilangan riil, maka pembuat nol dari math adalah eksak koordinat-x di saat titik-titik tersebut menyentuh sumbu-x.

B. Pertidaksamaan Kuadrat

Perubah (variable) adalah lambang (symbol) yang digunakan untuk menyatakan sebarang anggota suatu himpunan. Jika himpunannya R maka perubahnya disebut perubah real. Selanjutnya, yang dimaksudkan dengan perubah adalah perubah real.
Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataan matematis yang memuat satu perubah atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan (<, >, £, ³).
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan memiliki arti mencari seluruh bilangan real yang dapat dicapai oleh perubah-perubah yang ada dalam pertidaksamaan tersebut sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi benar.Himpunan semua bilangan yang demikian ini disebut penyelesaian. Sifat-sifat dan hukum dalam R sangat membantu dalam mencari penyelesaian suatu pertidaksamaan.
Contoh Soal:
Tentukan penyelesaian pertidaksamaan: x² – 5x + 6 > 0!
Penyelesaian Soal:
Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh: (x-2) (X – 3) > 0
Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu,
(i). Jika ke dua faktor positif maka:
x -2>0 dan x-3>0
↔x>2 dan x>3, sehingga diperoleh: x>3
(ii).Jika ke dua faktor negatif, maka:
x -2<0 dan x-3<0
↔x<2 dan x<3, sehingga diperoleh: x<3
Jadi, penyelesaian persamaan diatas adalah: {x € R| x <2 atau x>3}
 Contoh Soal !!!!!!!!!!!
   Contoh 1 :
☺        Bagaimana merubah persamaan 2x2 = 3x - 8 ke dalam bentuk umum???
            Penyelesaian :  2x2 = 3x – 8
                        <=>     2x2  - 3x =  3x-3x -8    (kedua ruas dikurangi 3x)
                        <=>     2x2 – 3x = -8
                        <=>     2x2 - 3x  + 8 = -8 + 8 (kedua ruas ditambah 8)
                        <=>     2x2 – 3x +  8 = 0
                  Jadi a  = 2, b = - 3 dan c = 8

Contoh 2 :
Cara memfaktorkan
      Contoh :          x2 – 5 x + 6 = 0
                           <=> ( x-2 ) ( x-3 ) = 0
                           <=> x- 2 = 0 atau x - 3 = 0
                           <=> x = 2     atau x = 3
                           Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}

Contoh 3
Cara Melengkapakan Kuadrat
Contoh :         Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x2 + 2x – 15 = 0 !
Jawab    :         x2 + 2x – 15 = 0
                        x2 + 2x = 15
Agar x2 + 2x menjadii bentuk kuadrat sempurna, harus ditambah dengan kuadrat dari setengah koefisien x + (½ x 2)2 = 12 = 1
Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh :
            x2 + 2x + 1 = 15 + 1
                        <=>     (x + 1)2 = 16
<=>     x + 1 = ± √16
<=>     x + 1 =  ± 4
<=>     x + 1 = 4 atau x + 1 = -4
<=>     x = 4 - 1 atau x = -4 -1
<=>     x = 3 atau x = -5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5}

Contoh 4
a.      Menggunakan rumus kuadrat
            Menentukan himpunan penyelesaian persamaan x2 + 4x – 12 = 0
           
                                                                                     
                                                                                      a =1   b = 4   c = -12
            penyelesaian

            x1,2 = - b ± √b2 – 4ac
                            2a

<=>     x1,2 =  - 4  ± √42 – 4 x 1x (-12)
                                    2 x 1
<=>     x1,2 =  - 4  ± √16 + 48
                                2
           
<=>     x1,2 =  - 4  ± √64
                            2
           
<=>     x1,2 =  - 4  ± 8
                            2

<=>     x1,2 =  - 4  +  8            atau        x1,2 =  - 4   -  8          
2                                                                                        2
<=>     x1 = 2                        atau       x2 = -6
jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-6, 2}

Contoh 5 : Bagaimana menetukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5???

            Cara 1 :          x1 = 2 dan x2 = 5
                        Maka   (x-x1) (x-x2) = 0
                        <=>     (x-2) (x-5) =  0
                        <=>     x2 – 7x + 10 = 0
                        Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0

            Cara 2            :          x1 = 2 dan x2 = 5
                        Maka   x2 – (x1+x2)x + x1.x2 = 0
                        Dengan (x1 + x2) = 2 + 5 = 7
                                    x1. x2 = 2.5 = 10
                        Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0

Contoh 6 : penerapan Persamaan Kuadrat
Luas sebidang tanah berbentuk persegi panjang, yaitu 4.320 m2. Jika panjang tanah itu 12m lebih panjang daripada lebarnya, berapakah panjang dan lebar tanah tersebut?
Penyelesaian :
Misalnya panjang tanah x meter dan lebar 4 meter maka
Y = ( x- 12) meter
Luas tanah = x . y
4.320        = x . y
<=>  4.320        = x . (x-12)
<=>  x2 – 12x – 4320 = 0
<=>  (x- 72) (x + 60) = 0
<=>  x - 72 = 0  atau x + 60 = 0
<=>  x      = 72 atau  x   = - 60
karena panjang tanah harus positif,  nilai yang memenuhi adalah x = 72.
Untuk x = 72 maka y = x – 12 = 72 – 12 = 60
Jadi, panjang tanah  adalah 72 meter dan lebar tanah adalah 60 meter.



LATIHAN
☺     Nyatakan persamaan  2 (x2 + 1) = x (x + 3) ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat !
☺     Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat 2x2 – 5x – 3 = 0, jika x є R!
☺     Tentukan persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya adalah 3 dan 0 !
☺     Jumlah dua bilangan cacah adalah 12. jika hasil kali dua bilangan itu 35. Tentukan kedua bilangan cacah yang dimaksud !

Pemyelesaian
1)               2 (x2 + 1) = x (x + 3)
<=>     2x2 + 2 = x2 + 3x
<=>     2x2 – x2 + 2 = x2 – x2 + 3x (kedua ruas dikurangi x2)
<=>     x2 + 2 = 3x
<=>     x2 – 3x + 2 = 3x – 3x (kedua ruas dikurangi 3x)
<=>     x2 – 3x + 2 = 0
         Jadi, a =  1, b = -3, dan c = 2
2)      Dua bilangan yang jumlahnya -5
         Dan hasil kalinya 2 x (-3) = -6 adalah 1 dan -6 sehingga diperoleh
                        2x2 – 5x – 3 = 0
            <=>     (2x + 1) (2x – 6) = 0
            <=>     2x + 1 = 0 atau 2x – 6 = 0
            <=>     x = - 1      atau x = 3
                                2         
         Jadi HP = {- 1, 3}
                             2

3)      dengan cara memfaktor
         x1 = 3 dan x2 = 0
         (x -  x1) (x – x2) = 0
         (x – 3) (x-0) = 0
         x (x – 3) = 0
         x2 – 3x = 0
Jadi, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah x2 – 3x = 0

4)      Misalkan kedua bilangan itu x dan y maka x + y = 12
         Dan xy = 35. Oleh karena itu, kita peroleh persamaan berikut :
         x (12 – x) = 35 (karena y = 12 – x)
<=> 12x – x2 = 35
<=> x2 – 12 = -35
<=> x2 – 12x  36 = -35 +36
<=> (x – 6)2 = 1
<=> x – 6 = ±1
<=> x - 6 = 1  atau x – 6 = -1
<=> x = 1 = 6 atau x = -1 + 6
<=> x = 7 atau x = 5
jika x = 7 maka y = 12 -  7 = 5
jika x = 5 maka y = 12 – 5 = 7
jadi, kedua bilangan yang dimaksud adalah 5 dan 7