A. Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalahdengan
Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari , koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.
Arti nilai a, b, dan c
Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.- a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.
- b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepatnya adalah -b/2a.
- c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x = 0.
Rumus kuadrat aka rumus abc
Rumus kuadrat dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk
Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa
.
Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk
dapat dituliskan menjadi
.
Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu
dan
.
Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.
Diskriminan/determinan
Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:
yang disebut sebagai diskriminan atau juga sering disebut determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dituliskan sebagai D.
Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki hanya sebuah akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini dikriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:
- Jika dikriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya merupakan bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan merupakan suatu kuadrat sempurna, maka akar-akarnya merupakan bilangan rasional -- sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irrasional kuadrat.
- Jika diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:
- Jika diskriminan bernilai negatif, tidak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan konjugat kompleks:
Akar riil dan kompleks
Persamaan kuadrat dapat memiliki sebuah akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.Titik potong dengan garis y = d
Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat digunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat () dengan suatu garis mendatar (). Hal ini dapat dilakukan dengan mengurangi persamaan kuadrat tersebut dengan persamaan garis yang titik potong antar keduanya ingin dicari dan menyamakannya dengan nol.Intepretasi yang sama pun berlaku, yaitu bila:
- diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara dan ,
- diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara dan , dan
- diskriminan negatif, tidak terdapat titik potong antara kedua kurva, dan .
Nilai-nilai y
Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai y berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan pula oleh nilai konstanta kuadrat a:Geometry
Akar-akar dari persamaan kuadrat
adalah juga pembuat nol dari fungsi kuadrat tersebut:
dikarenakan akar-akar tersebut merupakan nilai yang memberikan
Jika a, b, dan c adalah bilangan riil, dan domain dari adalah himpunan bilangan riil, maka pembuat nol dari adalah eksak koordinat-x di saat titik-titik tersebut menyentuh sumbu-x.
B. Pertidaksamaan Kuadrat
Perubah (variable) adalah lambang (symbol) yang digunakan untuk menyatakan sebarang anggota suatu himpunan. Jika himpunannya R maka perubahnya disebut perubah real. Selanjutnya, yang dimaksudkan dengan perubah adalah perubah real.
Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataan matematis yang memuat satu perubah atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan (<, >, £, ³).
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan memiliki arti mencari seluruh bilangan real yang dapat dicapai oleh perubah-perubah yang ada dalam pertidaksamaan tersebut sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi benar.Himpunan semua bilangan yang demikian ini disebut penyelesaian. Sifat-sifat dan hukum dalam R sangat membantu dalam mencari penyelesaian suatu pertidaksamaan.
Contoh Soal:Tentukan penyelesaian pertidaksamaan: x² – 5x + 6 > 0!
Penyelesaian Soal:
Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh: (x-2) (X – 3) > 0
Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu,
(i). Jika ke dua faktor positif maka:
x -2>0 dan x-3>0
↔x>2 dan x>3, sehingga diperoleh: x>3
(ii).Jika ke dua faktor negatif, maka:
x -2<0 dan x-3<0
↔x<2 dan x<3, sehingga diperoleh: x<3
Jadi, penyelesaian persamaan diatas adalah: {x € R| x <2 atau x>3}
Contoh Soal !!!!!!!!!!!
Contoh 1 :
☺ Bagaimana merubah persamaan 2x2 = 3x - 8 ke dalam bentuk umum???
Penyelesaian : 2x2 = 3x – 8
<=> 2x2 - 3x = 3x-3x -8 (kedua ruas dikurangi 3x)
<=> 2x2 – 3x = -8
<=> 2x2 - 3x + 8 = -8 + 8 (kedua ruas ditambah 8)
<=> 2x2 – 3x + 8 = 0
Jadi a = 2, b = - 3 dan c = 8
Contoh 2 :
Cara memfaktorkan
Contoh : x2 – 5 x + 6 = 0
<=> ( x-2 ) ( x-3 ) = 0
<=> x- 2 = 0 atau x - 3 = 0
<=> x = 2 atau x = 3
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}
Contoh 3
Cara Melengkapakan Kuadrat
Contoh : Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x2 + 2x – 15 = 0 !
Jawab : x2 + 2x – 15 = 0
x2 + 2x = 15
Agar x2 + 2x menjadii bentuk kuadrat sempurna, harus ditambah dengan kuadrat dari setengah koefisien x + (½ x 2)2 = 12 = 1
Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh :
x2 + 2x + 1 = 15 + 1
<=> (x + 1)2 = 16
<=> x + 1 = ± √16
<=> x + 1 = ± 4
<=> x + 1 = 4 atau x + 1 = -4
<=> x = 4 - 1 atau x = -4 -1
<=> x = 3 atau x = -5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5}
Contoh 4
a. Menggunakan rumus kuadrat
Menentukan himpunan penyelesaian persamaan x2 + 4x – 12 = 0
a =1 b = 4 c = -12
penyelesaian
x1,2 = - b ± √b2 – 4ac
2a
<=> x1,2 = - 4 ± √42 – 4 x 1x (-12)
2 x 1
<=> x1,2 = - 4 ± √16 + 48
2
<=> x1,2 = - 4 ± √64
2
<=> x1,2 = - 4 ± 8
2
<=> x1,2 = - 4 + 8 atau x1,2 = - 4 - 8
2 2
<=> x1 = 2 atau x2 = -6
jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-6, 2}
Contoh 5 : Bagaimana menetukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5???
Cara 1 : x1 = 2 dan x2 = 5
Maka (x-x1) (x-x2) = 0
<=> (x-2) (x-5) = 0
<=> x2 – 7x + 10 = 0
Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0
Cara 2 : x1 = 2 dan x2 = 5
Maka x2 – (x1+x2)x + x1.x2 = 0
Dengan (x1 + x2) = 2 + 5 = 7
x1. x2 = 2.5 = 10
Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0
Contoh 6 : penerapan Persamaan Kuadrat
Luas sebidang tanah berbentuk persegi panjang, yaitu 4.320 m2. Jika panjang tanah itu 12m lebih panjang daripada lebarnya, berapakah panjang dan lebar tanah tersebut?
Penyelesaian :
Misalnya panjang tanah x meter dan lebar 4 meter maka
Y = ( x- 12) meter
Luas tanah = x . y
4.320 = x . y
<=> 4.320 = x . (x-12)
<=> x2 – 12x – 4320 = 0
<=> (x- 72) (x + 60) = 0
<=> x - 72 = 0 atau x + 60 = 0
<=> x = 72 atau x = - 60
karena panjang tanah harus positif, nilai yang memenuhi adalah x = 72.
Untuk x = 72 maka y = x – 12 = 72 – 12 = 60
Jadi, panjang tanah adalah 72 meter dan lebar tanah adalah 60 meter.
LATIHAN
☺ Nyatakan persamaan 2 (x2 + 1) = x (x + 3) ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat !
☺ Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat 2x2 – 5x – 3 = 0, jika x є R!
☺ Tentukan persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya adalah 3 dan 0 !
☺ Jumlah dua bilangan cacah adalah 12. jika hasil kali dua bilangan itu 35. Tentukan kedua bilangan cacah yang dimaksud !
Pemyelesaian
1) 2 (x2 + 1) = x (x + 3)
<=> 2x2 + 2 = x2 + 3x
<=> 2x2 – x2 + 2 = x2 – x2 + 3x (kedua ruas dikurangi x2)
<=> x2 + 2 = 3x
<=> x2 – 3x + 2 = 3x – 3x (kedua ruas dikurangi 3x)
<=> x2 – 3x + 2 = 0
Jadi, a = 1, b = -3, dan c = 2
2) Dua bilangan yang jumlahnya -5
Dan hasil kalinya 2 x (-3) = -6 adalah 1 dan -6 sehingga diperoleh
2x2 – 5x – 3 = 0
<=> (2x + 1) (2x – 6) = 0
<=> 2x + 1 = 0 atau 2x – 6 = 0
<=> x = - 1 atau x = 3
2
Jadi HP = {- 1, 3}
2
3) dengan cara memfaktor
x1 = 3 dan x2 = 0
(x - x1) (x – x2) = 0
(x – 3) (x-0) = 0
x (x – 3) = 0
x2 – 3x = 0
Jadi, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah x2 – 3x = 0
4) Misalkan kedua bilangan itu x dan y maka x + y = 12
Dan xy = 35. Oleh karena itu, kita peroleh persamaan berikut :
x (12 – x) = 35 (karena y = 12 – x)
<=> 12x – x2 = 35
<=> x2 – 12 = -35
<=> x2 – 12x 36 = -35 +36
<=> (x – 6)2 = 1
<=> x – 6 = ±1
<=> x - 6 = 1 atau x – 6 = -1
<=> x = 1 = 6 atau x = -1 + 6
<=> x = 7 atau x = 5
jika x = 7 maka y = 12 - 7 = 5
jika x = 5 maka y = 12 – 5 = 7
jadi, kedua bilangan yang dimaksud adalah 5 dan 7